Calcul littéral. Equations.

Règle : Factoriser consiste à transformer une somme ou une différence en un produit. Pour cela, on utilise les règles suivantes :
                                                                 
                                                               

Exemples : 5,2x + 7x = x (5,2 + 7) = 12,2 x.

3,7x + 3,7y = 3,7 (x + y).

Règle : Lorsque l’on supprime des parenthèses :
                    - précédées d’un signe +, on conserve les signes.
                    - précédées d’un signe -, on change les signes.
En résumé :
                   

Exemple : Réduire :

On supprime les parenthèses :

On factorise :

Règle : (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd.

Exemple : Développer

Définition: On appelle équation une égalité entre deux expressions algébriques.

Exemple: , , sont des équations. La première comporte une seule inconnue, x. La deuxième comporte deux inconnues x et y. La troisième comporte à nouveau une seule inconnue, x. Cette dernière est élevée au carré, on dit donc de la troisième équation que c'est une équation du second degré. Les deux premières équations sont du premier degré.

Vocabulaire: Dans une équation, on distingue les membres de cette équation, c'est à dire les expressions algébriques qui sont de part et d'autres du signe égal. Une équation comporte donc deux membres: le premier et le deuxième, ou encore le membre de gauche et le membre de droite.

Définitions : Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs que l’on peu donner à l’inconnue pour que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont les solutions de l’équation.

Nous allons nous intéresser uniquement aux équations à une seule inconnue du premier degré, ou à celles qui peuvent s'y ramener.

Tout d'abord revoyons deux équations de référence vues dans les classes antérieures.

Propriété: L’équation a + x = b d’inconnue x a pour solution x = b – a.

Exemple :

La solution de l’équation 3 + x = -7 est –10.

Propriété: L’équation ax = b d’inconnue x:
                        - Si , admet une seule solution x = b/a.
                        - Si et si , une infinité de solution.
                        - Si et si , aucune solution.

En pratique, en classe de Quatrième, on ne s'intéressera qu'au premier cas.

Exemple :

L'équation -4x = 7 admet une seule solution: .

L’objectif est de ramener l’équation à une équation de référence du § 1.2.

Pour cela on dispose des deux règles suivantes :

Règle 1 : On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres de l’équation.

Règle 2 : On ne change pas les solutions d’une équation en multipliant ou en divisant par un même nombre non nul les deux membres de l’équation.

Exemple : Résoudre l’équation :

L'équation admet une seule solution: .

Savoir : Mettre en équation un problème:

Méthode:
Pour mettre en équation un problème, on respectera les étapes suivantes:
1. Choix de l'inconnue.
2. Mise en équation du problème.
3. Résolution de l'équation.
4. Conclusion, en vérifiant si la (ou les) solution(s) répondent au problème posé.