Règle (dite du produit en croix) : Soit a, b, c et d quatre nombres non
nuls.
Si alors ad = bc.
Conséquences :
1. Alors :
.
2. Si
,
on a aussi
.
C’est à dire que deux quotients égaux, ont des
inverses égaux.
Théorème
(partiel) de Thales : Dans un triangle ABC, si M est un
point du côté [AB], N un point du côté [AC]
et si (MN) est parallèle à (BC), alors :
Remarque : Les côtés de même support ou de supports parallèles sont appelés côtés associés.
Dans les deux cas :
;
;
.
Remarque : sont
appelés côtés associés.
Soit deux droites (AB) et
(AC) sécantes en A. Soit deux points D et E tels que:
,
distinct de A et B ;
,
distinct de A et C ;
Si
,
alors les triangles ADE et ABC ont les longueurs de leurs côtés
associés proportionnelles, autrement dit:
![]() |
Théorème réciproque des milieux: Si
I est le milieu de [AB] et (IJ) est parallèle à (BC),
alors J est le milieu de [AC] et on a
|
Soient deux droites (AB) et
(AC) sécantes en A. Soit D un point de la droite (AB)
distinct de A, et E un point de la droite (AC) distinct de A.
Si les points A, B et D d’une part, et A, C et E d’autre part sont alignés
dans le même ordre.
Si
,
alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.
Remarque:
L'hypothèse dans le même ordre est fondamentale.
Si I est le milieu de [AB] et si J est le milieu de [AC], alors (IJ)
est parallèle à (BC).
Problème :
Soit un segment [AB]. Construire à la règle et au
compas le point C de [AB] tel que : .
Programme de construction :
Tracer une demi-droite d’origine A.
Sur cette demi-droite, choisir une longueur unité, et placer le point E tel que AE = 3 et le point F tel que AF = 7.
Tracer (BF) puis la parallèle à (BF) passant par E. Elle coupe [AB] en C.