Le théorème de Thalès et sa réciproque.

Règle (dite du produit en croix) : Soit a, b, c et d quatre nombres non nuls.
Si alors ad = bc.

Conséquences : 1. Alors : .

2. Si , on a aussi . C’est à dire que deux quotients égaux, ont des inverses égaux.

Théorème (partiel) de Thales : Dans un triangle ABC, si M est un point du côté [AB], N un point du côté [AC] et si (MN) est parallèle à (BC), alors :

Remarque : Les côtés de même support ou de supports parallèles sont appelés côtés associés.

Dans les deux cas :

 ;  ; .

Remarque : sont appelés côtés associés.

Soit deux droites (AB) et (AC) sécantes en A. Soit deux points D et E tels que:
, distinct de A et B ;
, distinct de A et C ;
Si , alors les triangles ADE et ABC ont les longueurs de leurs côtés associés proportionnelles, autrement dit:

Soient deux droites (AB) et (AC) sécantes en A. Soit D un point de la droite (AB) distinct de A, et E un point de la droite (AC) distinct de A.
Si les points A, B et D d’une part, et A, C et E d’autre part sont alignés dans le même ordre.
Si , alors les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Remarque: L'hypothèse dans le même ordre est fondamentale.

Si I est le milieu de [AB] et si J est le milieu de [AC], alors (IJ) est parallèle à (BC).

Problème : Soit un segment [AB]. Construire à la règle et au compas le point C de [AB] tel que : .

Programme de construction :

• Tracer une demi-droite d’origine A.

• Sur cette demi-droite, choisir une longueur unité, et placer le point E tel que AE = 3 et le point F tel que AF = 7.

• Tracer (BF) puis la parallèle à (BF) passant par E. Elle coupe [AB] en C.