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Un cours de mathématiques du Collège au Lycée |
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Des chiffres et des nombres.
1. Ecriture des nombres.
1.1. Un bref retour sur les nombres entiers.
Les nombres s’écrivent avec des chiffres (comme les mots s’écrivent avec des lettres).
Il y a dix chiffres : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7; 8 ; 9. Ces chiffres permettent d'écrire tous les nombres.
Les nombres entiers sont les premiers nombres avec lesquels l'homme a compté, et on les appelle les entiers naturels, c'est à dire ceux avec lesquels il est naturel de compter.
Selon
sa position dans le nombre, un chiffre peut indiquer le nombre
d’unités, de dizaines, de centaines,…
On retiendra le tableau suivant:
| milliards | millions | milliers | unités | ||||||||
| c | d | u | c | d | u | c | d | u | c | d | u |
| 7 | 3 | 2 | |||||||||
| 2 | 1 | 3 | 5 | 4 | 6 | 8 | 0 | 7 | 9 | ||
Exemple :
732 : 7 centaines 3 dizaines 2 unités.
Pour lire plus facilement les grands nombres, on les écrit souvent
en faisant des tranches de trois chiffres.
Exemple :
Le nombre 2135468079 s'écrira ainsi: 2 135 468 079.
Ecriture des nombres entiers : les nombres s’écrivent aussi avec des lettres.
1.2. Les nombres décimaux.
1.2.1. Fractions décimales.
On peut diviser un nombre entier en 10, en 100, en 1000, etc ... Dans ce cas on parle de fraction décimale, c'est à dire dont le dénominateur est 10, 100, 1000 ...
Ce qui est particulièrement intéressant c'est de voir les fractions décimales de l'unité.
L'unité peut se découper en 10, 100, 1000 etc ... comme l'illustre les figures suivantes:
Figures animées à venir, pensez à revenir les voir !
1.2.2. Ecriture décimale.
Exemple:4237,895
|
Milliers |
Centaines |
Dizaines |
Unités |
, |
Dixièmes |
Centièmes |
Millièmes |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
4 |
2 |
3 |
7 |
, |
8 |
9 |
5 |
2. Comparaison des nombres.
2.1. Les signes < et >.
Le signe < se lit « est strictement inférieur à »
Le
signe
se lit « est strictement inférieur ou égal
à »
Idem
>,
.
Ordre croissant : du plus petit au plus grand.
2 < 2,75 < 3 < 4
Ordre décroissant : du plus grand au plus petit.
.
2.2. Comparaison de deux décimaux.
2.2.1. Premier cas : les parties entières sont différentes.
On compare les parties entières :
64,12
et 46,215 64,12 > 43,215 (car 64 > 46)
2.2.2. Deuxième cas : les parties entières sont égales.
On compare alors successivement les décimales de même rang :
2.3. Encadrer, intercaler un décimal.
2.2.1. Encadrer un décimal.
Encadrer 6,39 par :
- les entiers les plus proches : 6 < 6,39 < 7
-
les décimaux (à une décimale) les plus
proches : 6,3 < 6,39 < 6,4.
2.2.2. Intercaler un décimal.
Intercaler un décimal:
entre 6,4 et 6,5 :
6,40 <6,43 < 6,50
entre 7 et 7,1 :
7,00 < 7,05 <7,10
On
peut toujours intercaler un décimal entre deux nombres
décimaux donnés.
2.4. Approximations décimales, troncature, arrondi.
2.4.1. Approximations décimales.
Définition : Echelle des milliers : 0 1000 2000 3000…
Echelle des centaines : 0 100 200 300…
Echelle des dizaines : 0 10 20 30…
Echelle des unités : 0 1 2 3…
Echelle des dixièmes : 0 0,1 0,2 0,3…
Règle : On peut encadrer un nombre en le plaçant :
soit dans l’échelle des unités, des dizaines, ou des centaines…
soit dans l’échelle des dixièmes, des centièmes ou des millièmes,…
Exemple : Soit a= 231,25. 200 < a < 300
200 est l’approximation décimale de a à 100 près par défaut.
300
est l’approximation décimale de a à 100 près
par excès.
2.4.2. Troncature. Arrondi. (à l’unité).
Définition : La troncature à l’unité, au dixièmes, à la dizaine,… d’un nombre correspond à l’approximation décimale à l’unité, au dixième, à la dizaine… par défaut de ce nombre.
L’arrondi à l’unité, au dixième… d’un nombre correspond à l’approximation décimale à l’unité, au dixième la plus proche de ce nombre.
3. Comparaison de grandeurs.
Pour pouvoir comparer des longueurs (des masses, des volumes ou des durées), il faut travailler avec des nombres ayant la même unité.