Ordre et opérations. Valeurs approchées.

Règle 1: Pour comparer deux nombres positifs en écriture décimale, on compare successivement les décimales de même rang.

Exemple: m = 61 , 32564998 n = 61,32571 donc m < n.

Règle 2: Pour comparer deux nombres positifs en écriture fractionnaire, il faut d'abord les réduire au même dénominateur, puis les ranger dans l'ordre de leur numérateur.

Exemple:

Règle 3: Pour comparer deux nombres relatifs, on distingue trois cas:
            1^er cas: Si les deux nombres sont positifs, on utilise les règles 1 et 2 ou d'autres (cf Savoir)
            2^e cas: Si les deux nombres sont de signes contraires, le plus petit est le nombre négatif.
            3^e cas: Si les deux nombres sont négatifs, ils sont rangés dans l'ordre inverse de leurs opposés.

Exemple: m = - 61 , 32564998 n = - 61,32571 donc m > n.

m = 3/4 n = - 4/5 donc n < m.

Règle 4: Comparer deux nombres relatifs, revient à étudier le signe de leur différence:
                        - dire que a - b < 0 revient à dire que a < b.
                        - dire que a - b > 0 revient à dire que a > b.

Savoir: Autres méthodes de comparaison

Règle de transitivité: Siet alors .

Comparaison de fractions de même numérateur: Elles sont classées dans l'ordre inverse de leur dénominateur.

Règle 5: Soit trois nombres a, b, et c. Les nombres a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que les nombres a et b.

Exemple: M = -23 + 27,1 et N = -19 + 27,1. On a: -23 < -19 d'où M < N.

Règle 6: Soit trois nombres a, b, et k. Les nombres ka et kb sont rangés:
si k est strictement positif, dans le même ordre que les nombres a et b.

Exemple: et . On a: 6,9 < 7,8 d'où M > N.

Remarque: Si k est strictement négatif, les nombres ka et kb sont rangés dans l'ordre inverse des nombres a et b.

Exemple: et . On a: 1,2 < 2,7 d'où M < N.

Remarque: Il faut faire très attention dans la manipulation des encadrements. Ainsi, si on veut montrer qu'un nombre x est compris entre deux nombres a et b, il est plus simple de montrer que x est plus grand que a et que x est plus petit que b. On peut alors utiliser toutes les règles vues ci-dessus, ainsi que la règle de transitivité.

Remarque: Il faut bien distinguer valeur approchée et troncature.

Pour une troncature, on coupe le nombre à la précision voulue, sans s'occuper du morceau à droite de la coupure.

Pour une valeur approchée, on coupe le nombre à la précision voulue et on regarde le morceau de droite: si il commence par 0, 1, 2, 3 ou 4, l'arrondi est égal à la troncature. Sinon l'arrondi est égal à la troncature + la précision.

Exemple: Soit m=67,9457

La troncature au dixième de m est 67,9. L'arrondi au dixième de m est aussi 67,9.

La troncature au centième de m est 67,94. L'arrondi au centième de m est 67,95.